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梅涅劳斯定理,塞瓦定理是平面几何中的两个极其重要的定理.它们常常联合起来同时使用.
梅涅劳斯定理:一直线与 的三边 、 、 或它们的延长线分别相交于 、 、 ,则 .
事实上,如图过 、 、 分别作直线 的垂线,设垂足分别为 、 、 .由三角形相似有关知识有 , , .三式相乘即得.
梅涅劳斯定理的逆定理也成立,即“在 的边 、 、 (或其延长线上)分别取 、 、 .如果 ,那么 , , 三点共线”.梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线.
塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理.
边元塞瓦定理:如图, 内任取一点 ,直线 、 、 分别与边 、 、 相交于点 、 、 ,则 .
事实上, (用到了分比性质).
同理: , .三式相乘即得.
三式相乘边元塞瓦定理的逆定理也成立.即“在 的边 、 、 上分别取点 、 、 ,如果 .那么直线 、 、 三线相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点.”
角元塞瓦定理:如图,设 、 、 分别是 的三边 、 、 上的点,三条线段 、 、 交于一点 .则
(1)对 与点 ,有
.
(2)对 与点 ,有
.
(3)对 与点 ,有
.
(4)对 与点 ,有
.
像边元塞瓦定理的情形一样,角元塞瓦定理的逆定理也成立.
如图,过 的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线 、 、 .若
,
则 、 、 三线共点或互相平行.
斯台沃特定理:如图, 的边 上任取一点 ,若 , , ,则
.
事实上,由余弦定理
,
,
而 .可得
.
特别地,当 是 的中线时, ,令 ,则 ,此即中线长公式;当 是 的内角平分线时,由内角平分线性质: , ,设 ,可得 ,这里 .此即角平分线长公式.
确实分点怎么选都可以，只要共线就行。梅内劳斯定理包含两个元素：一个三角形，一条截线。三角形和截线的位置是任意的，截线可以交在三角形的边上，也可以交在延长线上。以LZ给的图为例，不添加辅助线的话，一共ABCDEF六个点，共有四组梅氏定理的结论。若三角形取ABC,截线取DEF,梅氏定理的结论为(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1.若三角形取ADF,截线取BCE,梅氏定理的结论为(AB/BD)*(DE/EF)*(FC/CA)=1.若三角形取BDE,截线取AFC,梅氏定理的结论为(BA/AD)*(DF/FE)*(EC/CB)=1.若三角形取CEF,截线取ADB,梅氏定理的结论为(CB/BE)*(ED/DF)*(CA/AF)=1.
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